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Un enigma pastillero

El problema que proponemos fue planteado por Donald E. Knuth, matemático que ha obtenido el premio Premio Fronteras del Conocimiento en la categoría de Tecnología de la Información y la Comunicación. Knuth es un entusiasta de los puzles, acertijos y juegos lógicos y, en sus propias palabras, "nunca ha sido capaz de ver ninguna frontera entre la investigación científica y el juego". Su investigación ha estado siempre influida por patrones que son visualmente atractivos, por paradojas que parecen ir contra la lógica o por combinaciones de números que encajan perfectamente juntos.

Un frasco de pastillas contiene inicialmente 10 pastillas grandes y 10 pastillas pequeñas, donde cada pastilla grande es equivalente a dos pequeñas. Cada día el paciente elige una pastilla al azar, procediendo del siguiente modo: si elige una pequeña se la toma, mietras que si elige una grande la parte por la mitad, se toma media pastilla y vuelve a meter en el frasco la otra mitad (que pasa a considerarse como una pastilla pequeña).

a) ¿Cuál es el número esperado de pastillas pequeñas que quedarán en el frasco cuando elija la última pastilla grande?

b) ¿Cuántos días se espera que deben pasar hasta que se elija la última pastilla grande?

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