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El enigma matemático de septiembre en 'Hoy por Hoy'

A la vuelta de verano, el matemático Fernando Blasco, nos planteó un nuevo enigma. Hoy damos la solución.

Un multimillonario decide hacer 20 depósitos monetarios en bancos diferentes. Para ello ingresa una cierta cantidad en el primer depósito y otra en el segundo. En el tercer depósito ingresa la suma de las dos cantidades anteriores. En el cuarto la suma de cantidades depositadas en el segundo y el tercero. Así sucesivamente hasta el vigésimo depósito, en el que ingresa 1.000.000, correspondiente a la suma de las cantidades depositadas en el décimo octavo y el décimo noveno.

Si todas las cantidades depositadas constituyen un número entero de euros (esto es, no hay decimales) ¿a qué valores ascendían los dos primeros depósitos?

SOLUCIÓN

Como aparece en los comentarios de muchos oyentes, el primer depósito era de 154 euros y el segundo de 144.

Hay varias formas de abordar el problema. Una de ellas por "fuerza bruta": llamando x, e y a las cantidades ingresadas en los dos primeros depósitos respectivamente, con la regla que se da en el enunciado podemos ir calculando una expresión para cada uno de los siguientes depósitos: así en el tercer depósito ingresaríamos x+y euros, en el cuarto x+2y, en el quinto 2x+3y, ... y en el vigésimo 2584x+4181y. Como sabemos que esa cantidad asciende a 1000000 euros, solo debemos encontrar los números (enteros positivos) x e y que lo satisfacen, que resultan ser 154 y 144.

Una solución más directa implica el conocimiento de propiedades de la sucesión de Fibonacci (sí, esa de la que se hablaba en "El Código Da Vinci"). Si tenemos una sucesión construida como la del enunciado, el término que ocupa el lugar n, a(n), viene dado por la fórmula a(n)=a(1)*F(n-2)+a(2)*F(n-1). Basta ahora darse cuenta de que los términos décimo octavo y décimo noveno de la sucesión de Fibonacci son, respectivamente, 2584 y 4181.

Para resolver la ecuación resultante puede despejarse una de las incógnitas, dar valores a la otra e imponer que ambas sean números enteros.

La hoja de cálculo también puede ayudar en esto, tal como han comentado algunos oyentes.

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