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Matemáticos españoles resuelven un problema de teoría de números planteado hace casi 80 años

El problema era: ¿Cuál es el mayor tamaño de un conjunto de números, todos ellos menores que una cantidad dada, en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto dan resultados distintos?

Matemáticos españoles, junto a un experto húngaro, han resuelto a base de combinación de probabilísticas, combinatorias, analíticas y algebraicas, el problema de ''los conjuntos generalizados'' que el húngaro Simon Sidon planteó en 1932.

La exposición planteada por Sidon a uno de sus alumnos hace casi 80 años era: ¿cuál es el mayor tamaño de un conjunto de números, todos ellos menores que una cantidad dada, en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto dan resultados distintos? Ahora, Javier Cilleruelo, Carlos Vinuesa e Imre Ruzsa, han logrado responder al matemático determinando el llamado ''conjunto de Sidon''.

Por ejemplo, Ñ1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35ó es un conjunto de Sidon, mientras que Ñ1, 3, 7, 10, 17, 23, 28, 35 no lo es porque aparecen sumas repetidas: 1+23-7+17.

Cilleruelo ha explicado que tanto Vinuesa como él se dieron cuenta de que "las herramientas probabilísticas permitían dar un paso más allá de lo que ya se sabía" acerca de este problema. En este sentido, ha señalado que "era una estrategia poco explorada hasta entonces". El húngaro Ruzsa, que también había logrado avances en un problema relacionado, se unió a ellos "cuando vio el resultado y propuso combinar ambos métodos", ha apuntado el matemático español.

Encaje de bolillos

Cilleruelo ha indicado que "al final el resultado ha sido un auténtico encaje de bolillos, en el que se han engarzado muchas piezas distintas; por eso ha costado tanto resolverlo", concretamente, según ha añadido "dos décadas pensando en este problema".

El resultado final de este hallazgo, publicado en ''Generalized Sidon Sets '', ha causado sorpresa entre los especialistas pues, según han especificado los matemáticos, se esperaba que los conjuntos generalizados de Sidon fueran más pequeños de lo que finalmente han resultado ser.

Además, han apuntado que el problema no tiene, por ahora, aplicaciones inmediatas fuera de la matemática, aunque la versión en dos dimensiones de los conjuntos de Sidon se utiliza en el diseño de radares.

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