Las matemáticas en el conflicto de la lotería de Villamanín

Ávila

79.432. 400.000 euros. 5 euros, 4 se juegan y uno de donativo. 15 talonarios impresos con 50 participaciones cada uno : 750 papeletas. 3.000 euros para vender. 150 décimos reservados. 450 papeletas vendidas. 1.800 euros vendidos, 90 décimos. Pero solo se pagaron 80. Diez décimos vendidos pero no pagados ni reservados. 50 papeletas, en teoría, sin premio.

Como si de un problema se tratara, son los datos que tenemos de lo que ha sucedido con la lotería vendida por la Comisión de Fiestas de la localidad leonesa de Villamanín. Una polémica que ha saltado a la actualidad nacional y que todavía se está tratando de resolver.

Una solución en la que obligatoriamente deben entrar las matemáticas. Y es lo que ha hecho Rubén Jiménez en el Somos Matemáticas de este mes de enero, analizando desde el punto de vista de los números, los errores que se han cometido y las posibles soluciones.

Somos Matemáticas inició su andadura en septiembre de 2017 con una entrega mensual salvo los meses de julio y agosto. Rubén ha creado una página web donde están compilados todos los espacios desde aquella fecha. Aquí os dejamos el enlace para consultarlo en cualquier momento, https://rujimenez05.github.io/somos_matematicas/

Pero además, Rubén nos ha dejado el reto para el próximo mes de febrero: una persona tiene 4 cadenas. Todas de tres eslabones. Quiere unirlas todas y crear una única cadena, un collar. Abrir un eslabón cuesta 20 céntimos y cerrarlo 30. Consigue su propósito gastando solo 1,05 céntimos. ¿Cómo lo ha hecho?.

El problema del repostaje de los aviones

El pasado mes de diciembre Rubén nos dejó un problema cuya solución ha desvelado en el último programa. Ese problema era este: Un grupo de aviones tiene su base en una pequeña isla. El depósito de combustible de cada avión tiene justo la capacidad suficiente para recorrer la mitad del planeta. Los aviones pueden transferirse en vuelo la cantidad de fuel que se desee. La única fuente de fuel está en la isla y no hay ninguna pérdida de tiempo en el repostado, ya en aire o tierra. ¿Cuál es el menor número de aviones que puede asegurar el vuelo de un avión alrededor del mundo siguiendo un círculo máximo?.

Dice Rubén que es el más complejo de los que se han planteado en este espacio por lo que ha querido dejarnos su solución de manera detallada.

Es evidente que un avión sólo no puede dar la vuelta al mundo. Dos, tampoco, pues resultaría imposible que uno de ellos pudiese volver a la base, ya que la suma de los dos depósitos sólo da para una vuelta.

Vamos a ver que con 3 aviones se puede conseguir.

Para resolverlo, debemos coordinar las transferencias de combustible de manera que el "Avión Principal" complete la vuelta, mientras los "Aviones de Apoyo" regresan a la base de forma segura. Dividamos el trayecto (la circunferencia total) en octavos (1/8 de vuelta). Cada avión tiene un tanque con capacidad de 1/2 (o 4/8) de la vuelta total.

Fase 1: La Salida (Apoyo de Ida)

• Punto 0: Tres aviones (A, B y C) despegan juntos.
• Distancia 1/8: Todos han consumido 1/8 de su combustible. Les queda 3/8 a cada uno.
• 1. El avión C entrega 1/8 al avión A y 1/8 al avión B.
  2. Ahora A y B están llenos (4/8), y a C le queda 1/8, que es justo lo que necesita para volver a la base.
• Distancia 1/4: A y B han consumido otro 1/8. Les queda 3/8 a cada uno.
• 1. El avión B entrega 1/8 al avión A.
  2. Ahora A está lleno (4/8) y a B le quedan 2/8, lo necesario para volver a la base (está a 1/4 de distancia).

Fase 2: El Vuelo en Solitario

• El avión A continúa solo. Al llegar a la mitad del mundo (1/2), su tanque está a la mitad (2/8).
• Al llegar a los 3/4 del trayecto, el avión A ha agotado su combustible. Aquí es donde necesita el apoyo de regreso.

Fase 3: El Rescate (Apoyo de Vuelta)

Para que esto funcione, los aviones B y C deben repostar en la isla y salir en dirección opuesta para encontrarse con A.

• Punto 3/4 (o 1/4 desde la base en dirección opuesta):
• 1. El avión B sale de la base al encuentro de A. Se encuentran justo en el punto 3/4.
  2. B llega con 2/8 de combustible (ha recorrido 1/4). A tiene 0.
  3. B le da 1/8 a A. Ahora ambos tienen 1/8 y se dirigen a la base.
• Punto 7/8 (o 1/8 desde la base):
• 1. A esta distancia, a A y B se les acaba el combustible.
  2. El avión C sale de la base y se encuentra con ellos en este punto.
  3. C llega con 3/8 de combustible (ha recorrido 1/8).
  4. C entrega 1/8 a A y 1/8 a B, quedándose él con 1/8.
• Final: Los tres aviones tienen exactamente 1/8 de combustible, lo suficiente para recorrer el último tramo y aterrizar a salvo en la isla.