El homenaje a los bosques

Esta es la solución al enigma planteado el día 23 de Marzo

El enigma planteaba lo siguiente:

Para repartir plantas en una plaza pública, los alumnos de Ingeniería de Montes han comprado 100 árboles. Entre ellos los hay pequeños, medianos y grandes. Los grandes cuestan a 5 euros, los medianos a 1 euro y los pequeños a 25 céntimos. En total se han gastado 100 euros. ¿Qué es lo que han podido comprar?

Y esta es la solución:

Si llamamos P al número de árboles pequeños, M al de medianos y G al de árboles grandes tiene que cumplirse que P+M+G=100 porque compramos 100 árboles y al mismo tiempo que 0,25P+M+5G=100, ya que nos gastamos 100 euros. Restando la segunda ecuación menos la primera resulta 0,75P-4G=0 o, equivalentemente 3P-16G=0 (donde hemos multiplicado por 4 la ecuación para evitar decimales).

Así buscamos números naturales (i.e. 1,2,3,4,5,..., no fracciones, ni raíces ) P y G que cumplan que 16G=3P. Analizando posibilidades vemos que solo hay 6:

G=P=0 (y, por tanto, M=100)

G=3, P=16 (y M=81)

G=6, P=32 (M=62)

G=9, P=48 (M=43)

G=12, P=64 (M=24)

G=15, P=80 (M=5)

Esas son las únicas soluciones posibles.

Este problema es un ejemplo típico de ecuación diofántica: una ecuación cuyas soluciones admiten solo números enteros (obviamente los alumnos no iban a comprar medios árboles)