Buenos anfitriones

El enigma planteaba lo siguiente: A una fiesta acuden los anfitriones y 4 parejas invitadas. Los asistentes comenzaron a abrazarse y sabemos que ninguno abrazó a su pareja, ni se abrazó a sí mismo, ni abrazó a una persona más de una vez. El anfitrión pregunta al resto de asistentes si recordaban cuántos abrazos habían dado y cada uno le contesta un número distinto. Con estos datos, ¿se puede saber cuántos abrazos dio la pareja del anfitrión?

Y ésta es la solución:

El anfitrión había preguntado al resto de asistentes cuántos abrazos había dado y cada uno le había contestado un número distinto. El anfitrión no se pregunta a sí mismo, con lo que, para que se cumplan todas las condiciones del problema, la única posibilidad que nos queda es que tanto él como su pareja son los que dan 4 abrazos.

Razonamiento:

Recordamos que a la fiesta asistían la pareja de anfitriones y otras cuatro parejas invitadas. El anfitrión pregunta al resto cuántos abrazos han dado y responden 9 números diferentes. Dado que una persona no puede abrazar a su pareja ni abrazarse a sí misma, esos 9 números diferentes tienen que ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.

Numeraremos las parejas de 1 a 5 y a cada uno de sus miembros los llamaremos A y B, así los 10 asistentes serán 1A, 1B, 2A, 2B, 3A, 3B, 4A, 4B, 5A y 5B. Obviamente, los abrazos son mutuos.

Supondremos que 1A es la persona que da 8 abrazos Su pareja tiene que ser quien no da ninguno, porque todos los demás ya han recibido un abrazo (para que 1A pueda dar 8 siguiendo las reglas).

Ahora, supongamos que quien da 7 abrazos es 2A. Un abrazo es el que ya se ha dado con 1A y los 6 restantes se los tiene que dar a 3A, 3B, 4A, 4B, 5A y 5B. La única posibilidad para que un asistente intercambie un único abrazo es que esta persona sea 2B (la pareja de 2A).

Siguiente paso: la persona que da 6 abrazos es 3A. Ya ha abrazado a 1A y a 2A. También abraza a 4A, 4B, 5A y 5B. Por las mismas razones de antes, su pareja es quien da 2 abrazos.

Llamamos 4A a la persona que da 5 abrazos. Esta persona ya a abrazado a 1A, 2A y 3A. Abrazará también a 5A y 5B. Su pareja tiene que ser quien da 3 abrazos, porque después de todas estas cuentas resulta que 5A y 5B han dado 4 cada uno.