La solución al enigma quijotesco

Fernando Blasco resuleve el enigma planteado el pasado 2 de junio

EL ENIGMA

El 2 de junio de 1605 apareció la primera edición de "El ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha". Aparecen bastantes pasajes relacionados con las matemáticas, pero es en el capítulo XVIII de la segunda parte,cuando Lorenzo, un joven aspirante a poeta, le pregunta por la ciencia de la caballería, a lo que don Quijote le explica cosas que ha de ser y saber un caballero andante. Y entre otras, le indica que los caballeros andantes debían saber matemáticas:

"-Es una ciencia -replicó don Quijote- que encierra en sí todas o las más ciencias del mundo, a causa que el que la profesa ha de ser jurisperito y saber las leyes de la justicia distributiva y conmutativa, para dar a cada uno lo que es suyo y lo que le conviene; ha de ser teólogo, para saber dar razón de la cristiana ley que profesa, clara y distintamente, adondequiera que le fuese pedido; ha de ser médico, y principalmente herbolario, para conocer en mitad de los despoblados y desiertos las hierbas que tienen virtud de sanar las heridas...; ha de ser astrólogo, para conocer por las estrellas cuántas horas son pasadas de la noche, y en qué parte y en qué clima del mundo se halla; ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas; y dejando aparte que ha de estar adornado de todas las virtudes teologales y cardinales [...]."

Supongamos ahora que Rocinante está pastando en un prado con forma de triángulo equilátero de 100m de lado, atado con una cuerda a un vértice del triángulo. ¿Qué longitud debe tener la cuerda para que se coma exactamente la mitad de la hierba del prado?

LA SOLUCIÓN

Para resolver el problema debemos recordar que el área de un triángulo se calcula mediante la fórmula Area=( base x altura ) /2.

Por otra parte, podemos calcular la altura h mediante el teorema de Pitágoras, ya que h²+50²=100². Así resulta que la altura h es 86,6metros, con lo que la superficie del prado triangular será de 4330m².

Ahora, si atamos a Rocinante con una cuerda de longitud r, la zona del prado en la que puede pastar tiene la forma de un sector circular de 60º y radio r (es decir, la sexta parte de la superficie de un círculo de radio r) y, por tanto, el área de la zona que sirve como alimento al caballo será de PI*r²/6. Igualando esta cantidad a 2165 (la mitad del prado) y despejando en esa ecuación obtenemos que r es la raiz cuadrada de 4136,94, esto es, aproximadamente, 64,3 metros.