Damos respuesta a la paradoja

Hace unas semanas planteamos el siguiente enigma: Si en una reunión de 23 personas, la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día es del 50%, ¿cuántas personas hacen falta para que esa probabilidad sea del 90%?

Y la solución es: 41 personas. El matemático Fernando Blasco lo explica:

La suma de la probabilidad de un suceso y su contrario es 1 (en términos llanos: siempre ha de ocurrir una cosa o su contraria). En este problema es más fácil trabajar con el contrario de lo que nos piden, es decir con la probabilidad de que NO haya ninguna coincidencia en las fechas de cumpleaños.

La probabilidad de que en un grupo de 2 personas NO coincida la fecha de su cumpleaños es de 364/365 (hay 364 posibilidades de elección de la fecha de cumpleaños del segundo); en un grupo de 3 personas es de 364/365*363/365, en uno de 4 será 364/365*363/365*362/365. Siguiendo el razonamiento de ese modo, tenemos que la probabilidad de que en un grupo de N personas NO haya una pareja que cumpla años el mismo día es de 364/365*363/365*...*(364-N+1)/365.

Lo que buscamos es el número de personas necesario para que en ese grupo haya al menos una pareja que cumpla años el mismo día. La probabilidad de ese suceso (opuesto al que acabamos de describir) es 1-364/365*363/365*...*(364-N+1)/365. El enunciado del problema nos dice que ese valor es del 90% (esto es, 0,9).

Debemos buscar entonces un número N tal que 364/365*363/365*...*(364-N+1)/365 sea menor de 0,1 y el primer valor para el que ocurre eso es para N=41, como bien han dicho varios oyentes